Analízis Tanszék

Elkészült új tanszéki honlapunk. Kérjük honlapunk látogatóit, hogy mostantól az új honlapot keressék majd fel. A régi honlap frissítése hamarosan megszűnik. Ugrás az új honlapra ...

Előadó: Pataki Gergely

Időpont és hely: 2016. 04. 06., 16:03, H306

Néhány példán keresztül szemléltetjük, az infimális konvolúciót, és néhány alkalmazását. A fogalom először J.-J. Moreau cikkeiben jelent meg 60-as években, később T. Strömberg, T. Glavosits és Á. Száz munkáiban. Bevezetjük egy általánosítását, aminek segítségével kimondunk egy folytonossági tételt, és megmutatjuk, hogy ez a tétel éles. Végül vizsgáljuk halmazfüggvényekre az infimális konvolúciót, és kiderül, hogy az unióőrző halmazfüggvények (vagyis relációk) konvolúciója a tényezők metszete.

Előadó: Nagy Béla

Időpont és hely: 2016. 03. 30., 16:03, H306

Legyenek H és K komplex Hilbert terek, és T sűrűn definiált zárt lineáris operátor H-ból K-ba. Nyilvánvaló, hogy spektrál tétel a klasszikus (projekciós) alakban T-re nem létezhet. Ezért vizsgálunk általánosabb, parciális izometria értékű operátor mértékeket, amelyek a klasszikus spektrál mértékek nem-multiplikatív általánosításai. Minden T-hez létezik ilyen operátor mérték, amelyre vonatkozó Dunford-Schwartz integrálja az identikus függvénynek a T operátor.  A T operátor mértékei között van  kitüntetett, amelynek segítségével hasonló (de nem multiplikatív) függvénykalkulus definiálható, mint a klasszikus esetben (nem korlátos) normális operátor esetén. Fontos segédeszköz a nem korlátos operátorokra vonatkozó polár felbontás (kanonikus faktorizáció). Megjegyzés: az eredmények H-ból H-ba ható korlátos T operátor esetén is újak.

Előadó: Farkas Bálint (Univ. of  Wuppertal)

Időpont és hely: 2016. 03. 23., 16:03, H306

A result of J.A. Goldstein extends Wiener's lemma from harmonic analysis about continuous and atomic measures to Hilbert space contractions. In this talk we discuss the relation between that lemma of Wiener and the Jacobs-de Leeuw-Glicksberg decomposition from operator theory. By using this decomposition we prove Goldstein's result in a way that is closer to the elementary proof of Wiener's lemma, and in a slightly stronger form at that. The presented proof appears to be new and worthy of mentioning.

Előadó: Geher György Pál (Szeged)

Időpont és hely: 2016. 03. 16., 16:03, H306

(Peter Šemrllel (Ljubljanai Egyetem) közös munka) Kivonat: Legyen $H$ egy komplex vagy valós Hilbert tér, és jelölje $P_1(H)$ a $H$-n ható 1-rangú ortogonális projekciók halmazát. Wigner tétele karakterizálja a $P_1(H)$ szürjektív izometriáit a gap metrikára nézve (amit az operátor normából nyerünk), és kimondja, hogy ezeket a transzformációkat mindig a $H$ egy unitér vagy egy antiunitér operátora indukálja. Másként megfogalmazva: a Wigner tétel a $H$ 1-dimenziós altereinek azon szürjektív transzformációit írja le, melyek szögtartóak. Megjegyezzük, hogy $x,y\in H$, $\|x\| = \|y\| = 1$ esetén a vektorok által generált $[x]$ és $[y]$ alterek által bezárt szög $\arccos|\langle x,y \rangle|$.

Ennek a tételnek nagyon sok bizonyítása ismert, és még mostanában is születnek újabbak. Fontossága miatt sokféleképpen általánosították is. Ennek egyik kiemelkedő példája Uhlhorn tétele, mely azt mondja ki, hogy a $H$ 1-dimenziós altereinek azon bijekciói, melyek megőrzik az ortogonalitást mindkét irányban (azaz két 1-dimenziós altér pontosan akkor merőleges egymásra, ha ez a képükre is igaz), mind unitér vagy antiunitér operátorok által indukáltak. Vegyük észre, hogy a Wigner tétel feltételeit jelentősen gyengíti ez a tétel, mégis ugyanazt a konklúziót vonja maga után. Előadásomban ismertetni fogom a Wigner tétel azon főbb általánosításait, amelyek 1-rangú ortogonális projekciók (vagy 1-dimenziós alterek) helyett $n$-rangúakkal ($n$-dimenziósakkal) foglalkoznak. Ezek a tételek Fernanda Botelho, Győry Máté, James Jamison, Molnár Lajos és Peter Šemrl neveihez fűződnek. Ezek után ismertetni fogom, hogy Peter Šemrllel mivel sikerült ehhez a témakörhöz hozzájárulnunk.

Referenciák:

[1] F. Botelho, J. Jamison, and L. Molnár, Surjective isometries on Grassmann spaces, J. Funct. Anal. 265 (2013), 2226-2238.

[2] W.-L. Chow, On the geometry of algebraic homogeneous spaces, Ann. Math. 50 (1949), 32-67.

[3] Gy.P. Geh\'er and P. \v Semrl, Isometries of Grassmann spaces, J. Funct. Anal. 270 (2016), 1585-1601.

[4] M. Gy\" ory, Transformations on the set of all $n$-dimensional subspaces of a Hilbert space preserving orthogonality, Publ. Math. Debrecen 65 (2004), 233-242.

[5] L. Molnár, Transformations on the set of all $n$-dimensional subspaces of a Hilbert space preserving principal angles, Comm. Math. Phys. 217 (2001), 409-421.

[6] P. \v Semrl, Orthogonality preserving transformations on the set of $n$-dimensional subspaces of a Hilbert space, Illinois J. Math. 48 (2004), 567-573.

[7] U. Uhlhorn, Representation of symmetry transformations in quantum mechanics, Ark. Fysik 23 (1963), 307-340.

[8] E.P. Wigner, Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektrum, Fredrik Vieweg und Sohn, 1931.